Trong mật mã học, một ngành toán học ứng dụng cho công nghệ thông tin, mã hóa là phương pháp để biến đổi thông tin (phim ảnh, văn bản, hình ảnh...) từ định dạng bình thường sang dạng thông tin khó có thể hiểu được nếu không có kỹ thuật, công nghệ giải mã [1].

Giải mã là phương pháp để đưa từ dạng thông tin đã được mã hóa về dạng thông tin ban đầu, quá trình ngược của mã hóa.

Một hệ thống mã hóa bao gồm các thành phần:

- Thông tin trước khi mã hóa, ký hiệu là P (Plaintext).

- Thông tin sau khi mã hóa, ký hiệu là C (Ciphertext).

- Chìa khóa, ký hiệu là K (Key).

- Phương pháp mã hóa/giải mã, ký hiệu là E/D (Encryption/Decryption).

Quá trình mã hóa được tiến hành bằng cách áp dụng hàm E lên thông tin P, vốn được biểu diễn dưới dạng số, để trở thành thông tin đã mã hóa C. Quá trình giải mã được tiến hành ngược lại là áp dụng hàm D lên thông tin C để được thông tin đã giải mã P.

1. Giới thiệu hệ mã hóa RSA

Trong mật mã học, RSA là một thuật toán mật mã hóa khóa công khai. Đây là thuật toán đầu tiên phù hợp với việc tạo ra chữ ký điện tử đồng thời với việc mã hóa. RSA đang được sử dụng phổ biến trong thương mại điện tử và được cho là đảm bảo an toàn với điều kiện độ dài khóa đủ lớn [2].

1.1. Thuật toán mã hóa RSA

Thuật toán RSA có hai khóa: khóa công khai (hay khóa công cộng) và khóa bí mật (hay khóa cá nhân). Mỗi khóa là những số cố định sử dụng trong quá trình mã hóa và giải mã. Khóa công khai được công bố rộng rãi cho mọi người và được dùng để mã hóa. Những thông tin được mã hóa bằng khóa công khai chỉ có thể được giải mã bằng khóa bí mật tương ứng. Nói cách khác, mọi người đều có thể mã hóa nhưng chỉ có người biết khóa cá nhân (bí mật) mới có thể giải mã được [3].

1.2. Sơ đồ mã hóa RSA

v Tạo khóa (bí mật, cộng khai) (a, b):

Chọn bí mật số nguyên tố lớn p, q, tính n = p * q, công khai n, đặt P = C = Z_n.

Tính bí mật f(n) = (p-1)*(q-1). Chọn khóa công khai b < f(n), nguyên tố với f(n).

Khóa bí mật a là phần tử nghịch đảo của b theo mod f(n): a*b = 1 (mod f(n)).

Tập cặp khóa (bí mật, công khai) k = {(a, b)/ a, b Î Z_n, a*b = 1 (mod f(n))}.

v Hàm mã hóa:

            y = e_k(x) = x^b mod n.

v Hàm giải mã:

            x = d_k(y) = y^a mod n.

2. Cài đặt và thực nghiệm mã hóa RSA

2.1. Cài đặt mã hóa RSA

Để cài đặt mã hóa RSA với ngôn ngữ lập trình Python. 

2.2. Thực nghiệm mã hóa RSA

Thực nghiệm với bản rõ x = HATINH, p = 5, q = 29.

v Tạo khóa:

Tính n = p * q = 5 * 29 = 145.

Tính bí mật f(n) = (p-1)*(q-1) = 4 * 28 = 112.

Chọn khóa công khai b < f(n), nguyên tố với f(n) thì chọn b = 11.

Khóa bí mật a là phần tử nghịch đảo b theo mod f(n): a*b = 1 (mod f(n)). Ta nhận được khóa bí mật a = 51 từ bảng dưới đây

v Bản rõ số:

HATINH = {72, 65, 84, 73, 78, 72}.

v Thực hiện mã hóa:

Theo phép lập mã: y_i = x_i^b mod n = x_i¹¹ mod 145.

Sau lập mã ta được: y_i = {8, 110, 14, 137, 7, 8}

vThực hiện giải mã:

Theo phép giải mã d_i = y_i^a mod n = y_i⁵¹ mod 145.

Sau giải mã ta được: d_i = {72, 65, 84, 73, 78, 72} = HATINH

Hình 1. Chạy thực nghiệm mã hóa RSA.

2.3. Độ an toàn mã hóa RSA

Hệ mã hóa RSA là tất định, tức là với một bản rõ x và một khóa bí mật a, thì chỉ có một bản mã y. Hệ mật RSA an toàn, khi giữ được bí mật khóa giải mã a, p, q, f(n). Nếu biết được p và q, thì thám mã sẽ tính được a theo thuật toán Euclide mử rộng. Nhưng phân tích n thành tích của p và q là bài toán khó.

Độ án toàn của hệ mã hóa RSA dựa vào khả năng giải bài toán phân tích số nguyên dương n thàn tích của 2 số nguyên tố lớn p và q.

3. Kết luận

Bài viết giới thiệu mã hóa RSA và các bước cơ bản tiến hành cài đặt hệ mã hóa RSA thông qua kiến thức cơ bản trong học phần An toàn và bảo mật thông tin. Chúng ta có thể từng bước tìm hiểu lý thuyết và xây dựng thực nghiệm thành công hệ mã hóa RSA, giúp sinh viên ngành CNTT hiểu rõ hơn về nội dung môn học, vận dụng kiến thức lý thuyết để xây dựng cài đặt thực nghệm cho bài toán.

Tài liệu tham khảo

[1]. Trịnh Nhật Tiến, “Bài giảng an toàn và bảo mật thông tin”, Đại học QGHN, 2010.

 [2]. Nguyễn Hưng, mã hóa RSA? Cách thức hoạt động của mã hóa RSA, link ngày 9/12/2022: https://vietnix.vn‌/rsa/#rsa-la-gi

[3]. Lê Minh Hoàng, Hệ mật RSA, link ngày 9/12/2022: https://anninhmang.edu.vn/mat-rsa/